Rubén Muñoz--Bertrand

Postdoctorant

Curriculum vitæ

Je travaille à la fois en géométrie arithmétique et en calcul formel. Plus précisément, j'étudie les vecteurs de Witt, la cohomologie de de Rham–Witt surconvergente et ses coefficients, et leurs applications en théorie des nombres. Je me suis également intéressé aux applications algorithmiques de ces théories.

J'ai soutenu ma thèse en 2020.

Articles

1. Pseudovaluations on the de Rham–Witt complex, Bulletin de la Société Mathématique de France 150 (2022), no. 1, pp. 53–75, doi:10.24033/bsmf.2844

   Pour tout anneau polynomial sur un anneau commutatif de caractéristique strictement positive, on définit sur le complexe de de Rham–Witt associé un ensemble de fonctions, et l'on démontre que ce sont des pseudovaluations au sens de Davis, Langer et Zink. Pour y parvenir, on calcule explicitement des produits d'éléments basiques du complexe. On prouve également que le complexe de de Rham–Witt surconvergent peut être retrouvé en employant ces pseudovaluations.

Prépublications

1. Local structure of the overconvergent de Rham–Witt complex (2023), 54 pages, arXiv:2311.15449

   On donne une description générale de la structure du complexe de de Rham–Witt relatif sur un anneau polynomial, en tant qu'algèbre sur sa partie entière. Après avoir donné une maîtrise de la surconvergence du morphisme de Lazard, on explicite similairement la structure du complexe surconvergent pour une algèbre finie étale sur un anneau noethérien parfait. On en déduit une généralisation de la décomposition en somme directe usuelle, compatible avec la surconvergence sur les projections.
2. Isocrystals and de Rham–Witt connections (2025), 28 pages, arXiv:2502.01902

   On introduit la notion de connexions intégrables pour un faisceau d'algèbres différentielles graduées sur un espace topologique. Nous les décrivons ensuite dans le cadre localement projectif fini, lorsque le faisceau est soit le complexe de Rham d'un schéma formel ou faiblement formel, soit pour le complexe de Rham--Witt convergent ou surconvergent sur un schéma lisse sur un corps parfait de caractéristique strictement positive. Cela nous permet de donner une nouvelle description des isocristaux convergents et surconvergents munis d'une structure de Frobenius.
3. Characterising properties of commutative rings using Witt vectors (2025), 11 pages, arXiv:2503.20115

   On donne des équivalences entre certaines propriétés d'un anneau commutatif, et d'autres propriétés de son anneau de vecteurs de Witt. Parmi elles, nous caractérisons tous les anneaux commutatifs dont les anneaux de vecteurs de Witt sont noéthériens. Nous définissons une nouvelle catégorie d'anneaux commutatifs, appelée anneaux préduits, et expliquons pourquoi il s'agit de la catégorie d'anneaux dont l'anneau des vecteurs de Witt ne présente pas de p-torsion. Nous étendons ensuite cette caractérisation à la torsion du complexe de Rham–Witt.
4. Faster computation of Witt vectors over a polynomial ring (2025), 11 pages, arXiv:2504.01834

   On décrit un algorithme permettant de calculer les lois d'anneau des vecteurs de Witt de longueur finie sur un anneau de polynômes à coefficients dans un corps fini. Cet algorithme emploie un isomorphisme d'Illusie afin de se ramener à calculer dans un anneau de polynômes bien choisi. On donne également une implémentation de l'algorithme en SageMath, qui s'avère être plus rapide que l'algorithme de Finotti, qui était jusqu'alors l'algorithme le plus efficace pour ces opérations.
5. Effective Artin–Schreier–Witt theory for curves (2025, avec Christophe Levrat), 31 pages, arXiv:2509.10633

   On présente un algorithme qui, étant donné une courbe projective lisse connexe X sur un corps algébriquement clos de caractéristique p>0 et sa matrice de Hasse–Witt, ainsi qu'un entier positif n, calcule tous les revêtements galoisiens étales de X de groupe Z/p^nZ. Nous calculons la complexité de cet algorithm lorsque X est défini sur un corps fini, et nous fournissons une implémentation complète de cet algorithme dans SageMath, ainsi que des exemples explicites. Nous l'appliquons ensuite au calcul du complexe de cohomologie d'un faisceau localement constant de Z/p^nZ-modules sur une telle courbe.
6. Using de Rham–Witt cohomology in Kedlaya's algorithm (en rédaction), code SageMath

   On explique comment remplacer la cohomologie de Monsky–Washnitzer par la cohomologie de de Rham–Witt surconvergente dans l'algorithme de Kedlaya dans le cas des courbes hyperelliptiques sur un corps fini de caractéristique impaire. Cette méthode permet d'obtenir une formule simplifiée pour l'action du Frobenius. On décrit comment construire des formules de réductions cohomologiques permettant de retrouver la fonction zêta de la courbe. Enfin, on donne une implémentation en SageMath de l'algorithme.

Notes de cours

1. p-adic cohomology theories and point couting, brouillon mis à jour le 26 juin 2023, commentaires bienvenus !
2. Introduction à la théorie des groupes, version en ligne mise à jour le 06 septembre 2024.

Comment écrire mon nom

Par expérience, mon nom est souvent mal orthographié. La faute aux deux signes diacritiques, et surtout au double tiret dans mon nom de famille. Il s'agit bien d'un double tiret, et non d'un simple tiret, ni d'un tiret long, et encore moins d'une faute frappe !

Si vous utilisez LaTeX2e dans une version postérieure à 2018, il vous suffit de rentrer ce code :

Rubén Muñoz-\relax-Bertrand

Pour Plain TeX, ou les versions obsolètes de LaTeX2e, vous pouvez employer ce code :

Rub\'en Mu\~noz-\relax-Bertrand

Je vous serais très reconnaissant de respecter la graphie exacte de mon nom.